Matemáticas · 20–30 min

Integrales para calcular acumulación

Convertir una tasa variable en una cantidad acumulada durante un intervalo.

Guía complementaria original de la copia local. Material opcional, no publicado por Xahni Lerma ni parte del syllabus institucional.

Qué vas a aprender

Relacionar integral definida con área con signo y usar una antiderivada para calcularla.

Comprende la idea

La integral definida suma contribuciones pequeñas de una función sobre un intervalo. Si la función representa caudal en L/min, la integral respecto al tiempo entrega litros. En una gráfica, las regiones bajo el eje cuentan negativamente.

Si F′(x) = f(x), entonces ∫ de a a b f(x) dx = F(b) − F(a) cuando se cumplen las condiciones habituales de continuidad. Una integral indefinida incluye +C porque varias funciones que difieren por una constante tienen la misma derivada.

Ejemplo resuelto

El caudal de entrada es q(t) = 2t + 1 L/min durante los primeros 3 minutos.

  1. Plantea volumen = ∫ de 0 a 3 (2t + 1) dt.
  2. Una antiderivada es F(t) = t² + t. Evalúa: F(3) − F(0) = (9 + 3) − 0 = 12 L.
  3. Comprobación gráfica: trapecio de bases 1 y 7 L/min y ancho 3 min: (1 + 7) × 3/2 = 12 L.

Tu práctica

Resuelve antes de consultar las soluciones. Escribe el procedimiento, las unidades y una comprobación del resultado.

  1. Calcula ∫ de 0 a 2 3x² dx.
  2. Una velocidad es −2 m/s durante 4 s. ¿Cuál es el desplazamiento? ¿Y la distancia recorrida?
Consultar soluciones y comprobar el procedimiento
  1. Antiderivada x³; 2³ − 0³ = 8.
  2. Desplazamiento = −2 × 4 = −8 m. Distancia = 8 m porque no cambia de sentido.

Del procedimiento a la práctica

Vuelve al curso y busca una actividad del mismo concepto. Antes de jugar, predice el resultado; después explica qué datos cambiaste y por qué funcionó.

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