Matemáticas · 20–30 min

Límites y derivadas para medir el cambio

Estimar un valor cercano y calcular la rapidez instantánea de un modelo.

Guía complementaria original de la copia local. Material opcional, no publicado por Xahni Lerma ni parte del syllabus institucional.

Qué vas a aprender

Distinguir límite de valor de función y relacionar derivada con pendiente local.

Comprende la idea

Un límite describe a qué valor se acercan las salidas cuando la entrada se aproxima a un punto. Puede existir aunque la función no esté definida justo allí. Acercarse por izquierda y derecha debe conducir al mismo valor para que exista el límite bilateral.

La derivada representa el límite de tasas de cambio promedio: f′(x) = lim(h→0)[f(x + h) − f(x)]/h. Geométricamente es pendiente tangente. Para potencias, d(xⁿ)/dx = nxⁿ⁻¹; la derivada de una constante es cero.

Ejemplo resuelto

La posición de un móvil se modela por s(t) = t² + 2t metros. Calcula su velocidad en t = 3 s.

  1. Deriva: v(t) = s′(t) = 2t + 2, en m/s.
  2. Evalúa: v(3) = 2(3) + 2 = 8 m/s. La posición sería s(3) = 15 m; son magnitudes distintas.
  3. Como comparación, velocidad media entre 3 y 4 s: [s(4) − s(3)]/(4 − 3) = (24 − 15)/1 = 9 m/s. Al acortar el intervalo hacia 3, se aproxima a 8.

Tu práctica

Resuelve antes de consultar las soluciones. Escribe el procedimiento, las unidades y una comprobación del resultado.

  1. Calcula lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2). ¿La expresión original está definida en x = 2?
  2. Deriva f(x) = 3x² − 5x + 7 y evalúa f′(2).
Consultar soluciones y comprobar el procedimiento
  1. Para x ≠ 2, la expresión es x + 2. El límite es 4; la expresión original no está definida en 2.
  2. f′(x) = 6x − 5; f′(2) = 7.

Del procedimiento a la práctica

Vuelve al curso y busca una actividad del mismo concepto. Antes de jugar, predice el resultado; después explica qué datos cambiaste y por qué funcionó.

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